Fermat found his little theorem by examining Mersenne prime. This thesis discloses the numerical structure of Fermat’s observation on Mersenne prime and submits its expanded theorems, which differ from his little theorem. The structure is deduced from the more essential theorems which describe the relation between the index and the modulus of power residue being one.

フェルマーの小定理を簡潔に証明する。フェルマーの小定理が成立する理由、数の仕組みを理解できるとともに、平易な形でそれを明らかにするよう試みた。【証明】ｐによる余りは1,2,〜,ｐ-2,ｐ-1のいずれかしかない。ａにａを掛けて余りをとる操作Ｔを繰り返し行うと、ｐ-1以下ですでに現われた余りが再び、、、つづく

素数が無限にあることを簡潔に証明する。算術の基本定理を用いた証明と、それを用いない証明の二つを示す。【証明】
仮に素数が有限個しかないとすると、すべての素数をＸとして、それらを掛けた数をｘとする。ｘ＋１は少なくとも一つの素数で割られる（後で証明する）ので、その素数をｐとする、、、つづく