デデキント切断（有理数の切断）の定義とその同値性についての証明

実数の連続性を主張するデデキントの定理、その前提には、実数のデデキント切断、あるいは単に切断の定義があります。特に、実数の構成は有理数の切断によってなされるので、有理数はデデキント切断ができるという命題が実数論全体の前提になります。

その有理数から無理数を構成していく証明の中では、デデキント切断が、もちろん前提となっているわけですので、何度も根拠として活用されます。その際にデデキント切断の同値な定義、（ア）切断の両方を対象にした定義（命題）と、（イ）切断の片方のみを対象とした定義（命題）を使い分けることになります。

このページでは、その（ア）と（イ）の二つの定義の同値性をきちんと証明したいと思います。というのは、直感的にスッと読み飛ばせる個所ではありますが、このような個所をきちんと吟味して読みこなせるようになることが数学書の理解のポイントだろうと思うからです。

では、まず以下に、高木貞治先生の有名な解析概論の付録Ⅰの冒頭より、有理数の切断の定義（命題）を引用したいと思います。解析概論では、証明は省略されていますので、ここで示すように読者が自分で補えればベターということになります。

ちなみに、デデキント切断の定義や、二つの命題の同値性の証明は実数においても有理数においても同じなので、以下では、解析概論のままに有理数の切断で証明を行いますが、有理数の個所をそのまま実数に置き換えて頂いても大丈夫です。

（ア）切断の両方を対象にした定義（命題）：

有理数の全部を次の条件(1),(2)に従って二組*(部分集合)\(A,A’\)に分けるとき、それを切断という。
(1) 各有理数は\(A\)あるいは\(A’\)のいずれか一方にのみ属する。すなわち、\(A,A’\)は有理数の部分集合として互に余集合である。
(2) \(A\)に属する各有理数は\(A’\)に属する各有理数よりも小さい。記号で書けば、\(a \in A, a’ \in A’\)ならば\(a ＜ a’\)。
*二組は狭義で言う。すなわち\(A\)あるいは\(A’\)が空虚（空集合）なることは許さない。

加えて、

この切断を\((A,A’)\)と書く。また、\(A\)を切断の下組、\(A’\)を上組という。

（イ）切断の片方のみを対象とした定義（命題）：

切断の下組\(A\)は上方に有界なる有理数の集合で、
\[a \in A, x ＜ a　ならば、 x \in A. \]

それでは、一つひとつ命題に分けながら確認していきたいと思います。

まず、（ア）(1)は、前半部と後半部が「すなわち」で接続されています。
つまり、前半の命題、

命題（ア）-(1)-前半：　各有理数は\(A\)あるいは\(A’\)のいずれか一方にのみ属する。

と、後半の命題、

命題（ア）-(1)-後半：　\(A,A’\)は有理数の部分集合として互に余集合である。

は同値であるということです。

【命題（ア）-(1)-前半と命題（ア）-(1)-後半の同値性の証明】
命題（ア）-(1)-前半　\(\Rightarrow\)　命題（ア）-(1)-後半：
任意の有理数について\(a \notin A \) ならば、命題（ア）-(1)-前半より、\(a \in A’ \)であり、
\(a \in A’ \)であれば、命題（ア）-(1)-前半より、\(a \notin A \)なので、
\(A’\)は\(A\)の余集合である。

命題（ア）-(1)-後半　\(\Rightarrow\)　命題（ア）-(1)-前半：
任意の有理数は\(a \in A\)であるか、\(a \notin A\)である。
今、\(A’\)は\(A\)の余集合なので、\(a \notin A\)ならば\(a \in A’\)となる。
したがって、任意の有理数は\(a \in A\)であるか、\(a \in A’\)のいずれか一方である。　■

次に（イ）を見ると、これも二つの命題に分けられて、

命題（イ）-(1)：
\[切断の下組Aは上方に有界なる有理数の集合である。\]

命題（イ）-(2)：
\[a \in A, x ＜ a　ならば、 x \in A. \]

となります。

では先に、
命題（ア）\(\Rightarrow\) 命題（イ）を示したいと思います。

【命題（イ）-(1)の証明】
命題（ア）-(1)-後半より、\(a’ \in A’\)を取れば、命題（ア）-(2)より、
\(A\)に属する各有理数は\(a’\)よりも小さいので、\(A\)は上方に有界である。

【命題（イ）-(2)の証明】
\(a \in A, x ＜ a\)　のとき、 \(x \notin A \)とすると、
命題（ア）-(1)-後半より、\(x \in A’ \)であり、
命題（ア）-(2)により、\(a ＜ x\)となるので、矛盾します。　■

次に、
命題（イ）\(\Rightarrow\) 命題（ア）を示したいと思います。

【命題（ア）-(1)の証明】
命題（イ）-(1)より、\(A\)の一つの上界\(m\)が取れる。
全体集合は有理数なので、\(m ＜ m’\)を満たす\(m’\)を取ることができ、\(m\)は\(A\)の上界なので、\(m’ \notin A\)である。
したがって、有理数の全体集合\(Q\)とすると、\(Q \neq A\)なので、\(A\)の余集合\(A’\)が取れる。

【命題（ア）-(2)の証明】
\(a \in A, a’ \in A’\)のとき、\(a’ \leq a\)なる\(a’,a\)の組があるとすると、
命題（ア）-(1)より、\(a’ \neq a\)なので、\(a’ ＜ a\)であり、
命題（イ）-(2)より、\(a’ \in A\)となり、矛盾する。
したがって、\(a \in A, a’ \in A’\)のとき、\(a’ \leq a\)なる\(a’,a\)の組はなく、すべて\(a ＜ a’\)である。　■

以上のように、省略された証明をきちんと補いながら数学書を読むことは、初めは時間がかかっても慣れてくれば早く考えることができるようになります。どんな数学書であっても、紙数、読者の前提知識、可読性への配慮、著者の意図、著者の未理解などによって、すべての知識に完全な証明を付けるということはできません。それらに気付き、補い、修正する力が読者には求められます。

そのために必要な姿勢が、トップページに示した合理主義の「真実又は真理を探究して、謙虚に問い、誠実に確認すること。」だと思います。

この能力がある程度付いてくると、数学書を読むのが楽しくなり、たとえ素早く理解しなければならない場合であっても、ポイントポイントで正確に論理を追えば、いつの間にか何を言っているのか分からなくなったということは少なくなるだろうと思います。